Das Sawwa-Kloster, (russisch: Sawwino-Storozhewski monastyr), wurde in der Nähe von Swenigorod Ende des 14. Jahrhunderts vom Mönch und Sergius-von-Radonesch-Schüler Sawwa Storoschewski gegründet; er wurde vom Swenigoroder Fürsten Juri Dmitrijewitsch unterstützt. Das Kloster wurde auf dem hohen Berg Storozha über dem Ort, wo der Fluss Storozhka in die Moskwa mündet. Daher kommt der Name des Klosters. Viele Jahrzehnte lang diente das Kloster als Ort der Buße und des Gebets für die Herrscherfamilie. Außerdem spielte es für die Verteidigung als Vorposten der Hauptstadt eine wichtige Rolle. Die ruhmreiche Geschichte und die wunderschöne Natur ziehen Gläubige und Liebhaber des russischen Altertums hierher.
Das Sawwa-Kloster sieht ausgesprochen feierlich aus, was die leuchtenden Farben des Glockenturmes auf dem Hintergrund der weißen Mauern betonen. Rechts vom Klostereingang befindet sich eine Aussichtsplattform, von der man bei gutem Wetter das wunderschöne Panorama der Umgebung sehen kann. Das Zentrum des Klosters bildet die Mariä-Geburt-Kirche, in der die unversehrten Gebeine des Ehrwürdigen Sawwa aufbewahrt werden. Auf dem Klostergelände gibt es ein Museum für Geschichte und Architektur, wo interessante Führungen veranstaltet werden. Im Rahmen einer Führung kann man auf den Glockenturm zur großen Glocke steigen, vom Turm aus kann man die ganze Umgebung sehen. Einen Kilometer vom Kloster entfernt befinden sich eine Skite und die Höhle, in welche sich der Ehrwürdige Sawwa zum Beten zurückzog. Hier befindet sich auch die heilige Quelle, die als Taufbecken fungiert, mit einer kleinen hölzernen Kapelle. In der Klosterbäckerei wird ein erstaunlich, köstliches Brot gebacken, es ist im Laden am Klostereingang zu kaufen. Im Refektorium kann man heißen Sbiten trinken, (ein Getränk aus Wasser, Honig und Gewürzen) und leckere Pastetchen mit verschiedenen Füllungen essen.